Antes de nada debes tener claro qué es la IP, para qué sirve y qué versiones de ella existen (IPv4 e IPv6). La dirección IP es un código numérico que identifica a equipos o dispositivos de una red. Como un PC o tablet, un router, un servidor web, una impresora de red, un modem, etc.
Es un equivalente informático a la dirección de tu casa. Con ella, el cartero sabe dónde vives y puede hacerte llegar cartas. Con la IP de un dispositivo, la red lo distingue de los otros y es capaz de hacerle llegar datos (o recibirlos de él).
Las IP públicas y privadas no son diferentes en sí mismas, como tampoco lo son las IP fijas y dinámicas. Tienen una forma y una función muy parecidas pero se utilizan en casos distintos.
IP Pública
Es la que tiene asignada cualquier equipo o dispositivo conectado de forma directa a Internet. Algunos ejemplos son: los servidores que alojan sitios web como Google, los router o modems que dan a acceso a Internet, otros elementos de hardware que forman parte de su infraestructura, etc.
Las IP públicas son siempre únicas. No se pueden repetir. Dos equipos con IP de ese tipo pueden conectarse directamente entre sí. Por ejemplo, tu router con un servidor web. O dos servidores web entre sí.
IP Privada
Se utiliza para identificar equipos o dispositivos dentro de una red doméstica o privada. En general, en redes que no sean la propia Internet y utilicen su mismo protocolo (el mismo "idioma" de comunicación).
Las IP privadas están en cierto modo aisladas de las públicas. Se reservan para ellas determinados rangos de direcciones. Son estos: